\exercice[style=R,N=3,verif]{Fonction $f:x\mapsto (x^2+1)\ln x-x$}

\partie{A : \'Etude d'une fonction auxiliaire}

On considère la fonction $h$ définie sur \intervOO{0}{+\infty} par : 

\[ h(x)=\ln x + \frac{x^2-x+1}{2x^2}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que sa dérivée est : $h'(x)=\dfrac{2x^2+x-2}{2x^3}$.
\item \'Etudier le signe de $h'(x)$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item Dresser un tableau de variations de $h$ sur \intervOO{0}{+\infty}. En déduire le signe de $h(x)$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}

\partie{B : \'Etude d'une fonction}

On considère la fonction $f$ définie sur \intervOO{0}{+\infty} par : 
\[ f(x)=\big(x^2+1\big)\ln x-x.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer sa dérivée puis montrer l'équivalence suivante :
\[
f'(x)>0 \Longleftrightarrow h(x)>0.
\]

\item En déduire les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$.
\item Déterminer $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$.
\item Dresser un tableau de variation complet de la fonction $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution, que l'on notera $\alpha$, sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item Montrer que $\alpha$ appartient à l'intervalle \intervOO{1}{2}.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
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