\exercice[style=R,N=4,verif]{Fonction $f:x\mapsto\frac{2\ln x}{x\left[(\ln x)^2+1\right]}$}

{\color{red}\textit{Cet exercice comporte deux questions finales avec la notion d'intégration.}}

\partie{A}

Soit le polynôme $P(x)=x^3+x^2+x-1$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P'(x)$, puis en déduire les variations de $P$ sur $\R$.
\item Montrer que l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur $\intervOO{\dfrac{1}{2}}{1}$.
\item En déduire le signe de $P(x)$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\partie{B}

On considère la fonction $f$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par : 

\[ 
f(x)=\frac{2\ln x}{x\big[ (\ln x)^2+1 \big]}.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de $f$ est $f'(x)=-2\dfrac{\left(\ln x\right)^3+\left(\ln x\right)^2+\ln x - 1}{x^2\big[ \left(\ln x\right)^2+1 \big]^2}$.

\item \`A l'aide de la partie A, montrer que $f'(x)$ est négatif sur $\intervOO{\e^\alpha}{+\infty}$.

\item Calculer $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.

\item Dresser un tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$ (on ne calculera pas $f(\alpha)$).

\item En remarquant que $f(x)=\dfrac{2\frac{\ln x}{x}}{\left(\ln x\right)^2+1}$, déterminer une expression en fonction du réel $t$ supérieur ou égal à 1 de l'intégrale : $I(t)=\dint_1^tf(x)\dx$.

\item Déterminer la valeur exacte puis approchée à 0,01 près de $t$ tel que $I(t)=1$.
\end{enumerate}