\exercice[style=A,N=3,verif]{\'Equation  $\e^x-\ln x=0$}

On considère la fonction $f$ définie sur \intervOO{0}{+\infty} par :
\[ f (x) = \e^x-\ln x\]
et sa courbe représentative $\mathscr{C}$ dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Rij.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ définie sur \intervFO{0}{+\infty} par :
\[ g(x) = x\e^x-1.\]
\item En déduire qu'il existe un réel positif unique $\alpha$ tel que : $\alpha\e^\alpha = 1$. Donner
un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-3}$.
\item Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de \intervOO{0}{+\infty}.
\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et étudier son signe sur \intervOO{0}{+\infty} en
utilisant la question 1. Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que $f$ admet un minimum $m$ égal à $\alpha+\dfrac{1}{\alpha}$. Justifier que : $2,32\leqslant m\leqslant 2,34$.
\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $\mathscr{T}$ à $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse 1. Déterminer le point d'intersection de $\mathscr{T}$ et de l'axe des abscisses.
\item Tracer $\mathscr{C}$ et $\mathscr{T}$.
\end{enumerate}