\exercice[style=R,N=5,verif]{\'Etude de la fonction $f(x)=\frac{x\ln x}{x^2+1}$}

L'objectif de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par :
\[
f(x)=\dfrac{x\ln x}{x^2+1}
\]
Pour cela, on considère les fonctions $g$ et $h$ définies sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par :
\[
g(x)=(1-x^2)\ln x+x^2+1\qquad\text{et}\qquad h(x)=x^2(1-2\ln x)
\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $h'(x)$ puis en déduire les variations de la fonction $h$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$.
\item Montrer qu'il existe une unique valeur $\alpha>1$ telle que $h(\alpha)=0$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,001 près.
\item En déduire le signe de $h(x)$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item En vous aidant de la question précédente, trouver les variations de $g$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet deux solutions $\beta$ et $\gamma$ telles que $0<\beta<1$ et $\gamma>\alpha$, avec $\gamma=\dfrac{1}{\beta}$.
\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item Montrer que $f(\beta)=-f(\gamma)$.
\end{enumerate}