\exercice[style=A,N=3,verif]{\'Etude de la fonction $f(x)=\frac{\ln x+x\e}{x^2}$}

\partie{A}
On considère la fonction $g$ définie sur \intervOO{0}{+\infty} par :
\[
g(x)=1-x\e-2\ln x
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\limite{x}{0}{g(x)}$ et $\limite{x}{+\infty}{g(x)}$.
\item Déterminer les variations de $g$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur \intervFF{\dfrac{1}{2}}{1}.

On notera $\alpha$ cette solution et on en donnera une valeur approchée à 0,01 près.
\item Donner alors le signe de $g(x)$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}

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\partie{B}

On considère la fonction $f$ définie sur \intervOO{0}{+\infty} par :
\[
f(x)=\dfrac{\ln x+x\e}{x^2}
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\limite{x}{0}{f(x)}$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.
\item Montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$ et en déduire les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{1+\alpha\e}{2\alpha^2}$.
\end{enumerate}