\begin{enumerate}
\item Démontrons par récurrence les résultats.
\begin{itemize}
\item À l'étape $p=1$, il y a 20 cubes remplis (il suffit de compter). Donc $N_1=20$.

De plus, la longueur du carré de base des cylindres représente le tiers du côté du cube donc $L_1=\dfrac{1}{3}=3^{-1}$.

\item Supposons qu'à l'étape $p-1$, $N_{p-1}=20^{p-1}$ et $L_{p-1}=3^{-(p-1)}$.

La fractale étant auto-similaire, à chaque cube de l'étape $p-1$, on fait ce que l'on a fait au premier cube donc :
\[
N_p=20\times N_{p-1}=20 \times 20^{p-1}=20^p.
\]
De plus,
\[
L_p=\dfrac{1}{3}L_{p-1}=3^{-1}\times 3^{-(p-1)}=3^{-p}.
\]

L'hérédité est vérifiée.
\end{itemize}

La propriété est donc vraie pour tout entier $p>0$.

\item Par définition, on a :
\begin{align*}
d & = -\limite{p}{+\infty}\left(\dfrac{\ln N_p}{\ln L_p}\right)\\
& = -\limite{p}{+\infty}\left(\dfrac{\ln\big(20^p\big)}{\ln\big(3^{-p}\big)}\right)\\
& = -\limite{p}{+\infty}\left(\dfrac{p\ln\big(20\big)}{-p\ln\big(3\big)}\right)\qquad\text{ car }\ln(a^p)=p\ln(a)\\
& = \limite{p}{+\infty}\left(\dfrac{\ln (20)}{\ln(3)}\right)\\
\Aboxed{d & = \dfrac{\ln20}{\ln3}}
\end{align*}
\end{enumerate}
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