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\sectionnn{Calculs de limites}

\exercice[style=R,N=2,verif]{Dimension d'une fractale}

L'\textit{éponge de Menger} est un objet fractal, c'est-à-dire un objet dit \textit{auto-similaire} (quand on fait un zoom sur une partie de cet objet, on retrouve la structure de l'objet lui-même).

Cet objet est construit à partir d'un cube rempli, en lui ôtant deux prismes perpendiculaires à base carrée, puis en réitérant ceci une infinité de fois (voir illustration ci-dessous).

\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{eponge-fractale.png}
\end{center}

\medskip

On note :

\begin{itemize}
\item $N_p$ le nombre de cubes pleins à l'étape $p$;
\item $L_p$ la longueur de la base du $p$-ième cylindre enlevé (à l'étape $p$).
\end{itemize}

On appelle \textit{dimension de l'objet fractal} le nombre $d$ défini par :
\[
d = -\limite{p}{+\infty}\left(\dfrac{\ln N_p}{\ln L_p}\right).
\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que $N_p=20^p$ et $L_p=3^{-p}$ pour $p>0$.
\item En déduire que $d=\dfrac{\ln 20}{\ln 3}$.
\end{enumerate}