\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item ABC est équilatéral ; par conséquent, O est le point d'intersection des hauteurs (ou des médiatrices). Donc (OH) est la hauteur relative à (AB) mais aussi la médiatrice de [AB].

\uline{Donc H est le milieu de [AB].}

\item O est le centre de gravité de ABC donc :
\[ \text{OH}=\dfrac{1}{3}\text{CH}.\]
Ainsi,
\[ \boxed{\text{OH}=\dfrac{1}{2}r}\]

\item On sait depuis la 3\ieme{} que dans un polygone régulier à $n$ c\^otés, l'angle au centre est, en degrés, $\dfrac{360}{n}$.

\medskip

\uline{Ainsi, $\angle{AOB}=120^\circ$.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item OM est un nombre compris entre  et $r$ ; par conséquent, X suit la loi uniforme sur \intervFF{0}{r} :
\[ \boxed{\text{X}\hookrightarrow\mathscr{U}\left(\intervFF{0}{r}\right)}\]

\item Pour que la corde ait une longueur supérieure au c\^oté de ABC, il faut qu'elle se trouve dans la zone coloriée suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\clip (1,0) rectangle (7,6);
\tkzDefPoint(2,3){A}
\tkzDefShiftPointCoord[2,3](30:4){B}
\tkzDefShiftPointCoord[2,3](-30:4){C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzCircumCenter(A,B,C)\tkzGetPoint{O}
\tkzDrawPoint(O)
\tkzDrawCircle(O,A)
\tkzDefLine[perpendicular=through O](A,B)
\tkzGetPoint{h}
\tkzInterLL(O,h)(A,B)\tkzGetPoint{H}
\tkzDrawPoint(H)
\tkzLabelPoints[above](B,H)
\tkzLabelPoints[left](A)
%
\tkzDefPointsBy[symmetry=center O](A,B){}
\tkzDrawSegments(A',B')
\tkzDrawSector[rotate,fill=blue!20](O,B)(-60)
\tkzDrawSector[rotate,fill=blue!20](O,A)(60)
\tkzDrawPolygon[fill=blue!20](A,B,A',B')
%
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawPoint(O)
\tkzDrawCircle(O,A)
\tkzLabelPoints(C,O)
\end{tikzpicture}
\end{center}

Donc, en choisissant M sur un rayon uniquement, ça coupe en deux cette zone.

D'après la question 1.b, la probabilité pour que la corde ait une longueur plus grande que AB est :
\[
\dfrac{\text{OH}}{r}=\dfrac{\frac{1}{2}r}{r}=\dfrac{1}{2}.
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Z suit la loi uniforme sur \intervFF{0}{180}:
\[ \boxed{\text{Z}\hookrightarrow\mathscr{U}\left(\intervFF{0}{180}\right)}\]

\item Pour que la corde ait une longueur supérieure à AB, il faut que $\text{Z}>120$.
\begin{align*}
\probavar[>]{Z}{120} & = \text{P}(120<\text{Z}<180)\\
& = \dfrac{180-120}{180-0}\\
& = \dfrac{60}{180}\\
\Aboxed{\probavar[>]{Z}{120} & = \dfrac{1}{3}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}