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\exercice[style=R,N=3,verif]{Paradoxe de Bertrand}

On considère un cercle $\mathscr{C}$ de centre O et de rayon $r>0$ et un triangle équilatéral ABC inscrit dans $\mathscr{C}$.

\medskip

On trace la perpendiculaire à (AB) passant par O ; elle coupe (AB) en H.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\clip (1,0) rectangle (7,6);
\tkzDefPoint(2,3){A}
\tkzDefShiftPointCoord[2,3](30:4){B}
\tkzDefShiftPointCoord[2,3](-30:4){C}
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzCircumCenter(A,B,C)\tkzGetPoint{O}
\tkzDrawPoint(O)
\tkzDrawCircle(O,A)
\tkzDefLine[perpendicular=through O](A,B)
\tkzGetPoint{h}
\tkzInterLL(O,h)(A,B)\tkzGetPoint{H}
\tkzDrawPoint(H)
\tkzDrawSegments(C,H)
\tkzLabelPoints[above](B,H)
\tkzLabelPoints[left](A)
\tkzLabelPoints[below](O)
\tkzLabelPoints(C)
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que H est le milieu de [AB].
\item Exprimer OH en fonction de $r$.
\item Donner, en degrés, la mesure de \angle{AOB}.
\end{enumerate}

\item On choisit un point M sur un rayon quelconque [OP] et on trace la corde perpendiculaire à (OM) passant par M.

On appelle X la variable aléatoire égale à la longueur OM.

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de X.
\item Quelle est la probabilité pour que cette corde ait une longueur supérieure au c\^oté de ABC ?
\end{enumerate}


\item On choisit maintenant au hasard un nombre Z entre 0 et 180, puis on construit un angle au centre de $\mathscr{C}$ de mesure Z degré(s). On trace alors la corde qui intercepte cet angle.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de Z ?
\item Quelle est la probabilité que cette corde ait une longueur supérieure à celle d'un c\^oté de ABC ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}