
Laisser tomber au hasard une aiguille, c'est choisir au hasard :

\begin{itemize}
\item l'abscisse X de son centre dans l'intervalle \intervFF{0}{\dfrac{a}{2}},
\item l'angle $\theta$ avec l'horizontale dans l'intervalle \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}
\end{itemize}

comme l'illustre le schéma suivant.

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw (0,0) -- (0,4);
\draw (2,0) -- (2,4);
\draw[<->,>=stealth'] (0,3.5) -- (2,3.5) node[midway,above] {$a$};
\draw ({0.8+0.5*cos(220)},{0.8+0.5*sin(220)}) -- ({0.8+0.5*cos(40)},{0.8+0.5*sin(40)});
\fill (0.8,0.8) circle (1pt) node[below] {X};
\draw[dashed] (0,0.8) -- (2,0.8);
\draw (1,0.8) arc(0:40:0.2cm);
\node[right] at (1,0.9) {$\theta$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
L'aiguille chevauche deux dalles lorsque :
\[ \text{X} \leqslant \dfrac{\ell}{2}\cos\theta\]
donc la probabilité demandée est :

\begin{align*}
\probavar[\leqslant]{X}{\frac{\ell}{2}\cos\theta} & = \dfrac{\frac{\ell}{2}\dint_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\dx[\theta]}{\pi\frac{a}{2}}\\
\Aboxed{\probavar[\leqslant]{X}{\frac{\ell}{2}\cos\theta} & = \dfrac{2\ell}{a\pi}}
\end{align*}
\end{minipage}