\begin{enumerate}
\item On a $P(X>10) = 0,286 = \e^{-10\lambda}$, équation qui donne $\lambda = 0,125$ au centième près.

\item La probabilité qu'un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois s'écrit $P(X \geqslant 0,5)$. \[P(X \geqslant 0,5) = 1-\e^{-0,5\times 0,125}=1-\e^{-0,0625} \approx 0,061 .\]

\item L'appareil a déjà fonctionné 8 années, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 10 ans est donnée par : $P_{(X>8)}(X>10)$ avec $P(X>8) = \e^{-8\times 0,125}$. 

\[ P((X>10)\cap (X>8)) = P(X>10) = \e^{-10\times 0,125}\]

\[ P_{(X>8)}(X>10)=\frac{P((X>10)\cap(X>8))}{P(X>8)}=\frac{\e^{-10\times 0,125}}{\e^{-8\times 0,125}}=\e^{-2\times 0,125}=P(X>2) \approx 0,779. \]

\item On est en présence d'un schéma de Bernoulli. La durée de vie d'un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable à commandé 15 oscilloscopes. La probabilité qu'un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans est la probabilité d'un \og succès \fg{} et on sait qu'elle vaut $P(X>10) = 0,286$. 

L'événement \og au moins un oscilloscope parmi les 15 a une durée de vie supérieure à 10 ans \fg{} est l'événement contraire de "tous les appareils ont une durée de vie inférieure à 10 ans" de probabilité $(1-0,286)^{15} = 0,714^{15}$.

La probabilité qu'au moins un oscilloscope parmi les 15 ait une durée de vie supérieure à 10 ans est donc $1-0,714^{15} \approx 0,994$.

\item On reprend la situation de la question précédente avec $n$ oscilloscopes et on cherche $n$ tel que $1-0,714^n \geqslant 0,999$, inéquation équivalente à $0,714^n \leqslant 10^{-3}$ et qui donne $n \geqslant \dfrac{\ln(10^{-3})}{\ln 0,714} \approx 20,5$.

L'établissement devrait acheter 21 oscilloscopes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999.
\end{enumerate}
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