\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
P(X>6)=0,3 & \iff 1-P(X \leqslant 6)=0,3\\
& \iff \dint_0^6 \lambda \e^{-\lambda x} \dx = 0,7\\
& \iff -\e^{-6\lambda}=0,7\\
& \iff \lambda = -\dfrac{1}{6}\ln 0,3\\
& \iff \underline{\lambda \approx 0,20}.
\end{aligned}$

\item On cherche $t$ tel que :
\[
P(X \leqslant t)=0,5\;,
\]
soit :
\[
\dint_0^t 0,2 \e^{-0,2x}\dx=0,5\;,
\]
ou encore, après développement, 
\[
\uline{t=5\ln 2 \approx 3,47\text{ années }= 42 \text{ mois}.}
\]

\item La probabilité qu'un robot n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de $\e^{-0,4}$. En effet, $P(X>2)=1-P(X \leqslant 2)=1+\e^{-0,4}-1=\e^{-0,4}$.

\item Sachant qu'un robot n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans est :\[ \frac{P(X>6)}{P(X>2)}=\frac{\e^{-0,2\times 6}}{\e^{-0,2\times 2}}=\e^{-0,8} \approx \uline{0,45}.\]

\item On considère un lot de dix robots fonctionnant de manière indépendante. Nous savons que la probabilité qu'un robot n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est  $e^{0,4}$.

La probabilité qu'aucun robot sur les dix n'ait eu de panne au cours des deux premières années est $(1-\e^{-0,4})^{10}$.

La probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est donc : $1-(1-\e^{-0,4})^{10} \approx \underline{\numprint{0,999985}}$.
\end{enumerate}
