
\sectionnn{Loi exponentielle}

\exercice[style=A,N=2,verif]{Durée de vie d'un robot (d'après Bac Liban, 2006)}

La durée de vie d'un robot exprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.\\
Ainsi, la probabilité qu'un robot tombe en panne avant l'instant t est égale à : \[P(X \leqslant t) = \dint_0^t \lambda \e^{-\lambda x}\dx.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ prés de $\lambda$ pour que la probabilité $P~(~X~>~6~)$ soit égale à 0,3.

\medskip

Dans la suite de l'exercice, on prendra $\lambda~=~0,2$.

\medskip

\item \`A quel instant $t$ à un mois prés, la probabilité qu'un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5 ?

\item Montrer que la probabilité qu'un robot n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de $\e^{-0,4}$.

\item Sachant qu'un robot n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est à $10^{-2}$ prés, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans ?

\item On considère un lot de dix robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années.
\end{enumerate}