\partie{A}

\begin{enumerate}
\item La variable X suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,02$. La probabilité qu'exactement deux des composants achetés soient défectueux est : \[ P(X=2)=\binom{50}{2}\times (0,02)^2 \times (0,98)^{48} \approx 0,19.\]

\item Donnons d'abord la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux : $(0,98)^{50}$.\\
La probabilité qu'au moins un des composants achetés soit défectueux est donc\linebreak $1-(0,98)^{50} \approx 0,64$.

\item Dans un lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux est l'espérance de X soit $50\times 0,02 = 1$.
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieur à \numprint{1000} heures si ce composant est défectueux est : 

\[ P(T_1 \geqslant \numprint{1000}) = 1 - \int_0^{1000} 5\times 10^{-4}\e^{(-5\times 10^{-4})x} \dx = \e^{-0,5} \approx 0,61.\]

\item  La probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieur à \numprint{1000} heures si ce composant n'est pas défectueux est : 

\[ P(T_2 \geqslant \numprint{1000}) = 1 - \int_0^{1000} 10^{-4}\e^{(-10^{-4})x} \dx = e^{-0,1} \approx 0,90.\]
\end{enumerate}

\item Soit $T$ la durée de vie (en heures) d'un composant acheté au hasard. Notons respectivement $A$ et $D$ les événements $(T \leqslant t)$ et \og le composant est défectueux \fg. On peut écrire : $A = (D \cap A) \cup (\overline{D} \cap A)$. De plus, on sait que $P(D)=0,02$. Alors : 

\[ P(T \geqslant t)=P(A)=P(D)\times P_D(A)+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(A)\;,\] 

soit : 

\[ P(T \geqslant t)= P(D)\times P_D(T \geqslant t) + P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T \geqslant t)\;,\]

d'où : 

\[ P(T \geqslant t)= 0,02\times\left(1-1+\e^{(-5\times 10^{-4})t}\right) +0,98\left(1-1+\e^{-10^{-4}t}\right)\]

Ainsi: 

\[\boxed{P(T \geqslant t)=0,02\e^{(-5\times 10^{-4})t}+0,98\e^{10^{-4}t}}\]

\item Sachant que le composant acheté est encore en état de marche \numprint{1000} heures après son installation, la probabilité que ce composant soit défectueux est : 

\[ P_{(T \geqslant \numprint{1000})}(D)=\frac{P\left( D \cap (T \geqslant \numprint{1000})\right)}{P(T \geqslant \numprint{1000})} = \frac{0,02\e^{-5\times 10^{-4}\times\numprint{1000}}}{0,02\e^{-5\times 10^{-4}\times \numprint{1000}} +0,98\e^{-10^{-4}\times\numprint{1000}}} \approx \underline{0,013}.\]
\end{enumerate}
\newpage