\exercice[style=A,N=3,verif]{Composants électroniques (d'après Amérique du sud, 2005)}

Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants tous identiques en apparence, mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu'un composant soit défectueux est égale à 0,02.

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Les parties A et B sont indépendantes.

\partie{A}

On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l'achat de 50 composants soit assimilés à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 50 composants.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'exactement deux des composants achetés soient défectueux ? En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ prés.
\item Calculer la probabilité qu'au moins un des composants achetés soit défectueux ? En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ prés.
\item Quel est dans un lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?
\end{enumerate}

\partie{B}

On suppose que la durée de vie $T_1$ (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1= 5\times 10^{-4}$ et que la durée de vie $T_2$ (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_2=10^{-4}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieur à \numprint{1000} heures :

\begin{enumerate}
\item si ce composant est défectueux
\item si ce composant n'est pas défectueux
\end{enumerate}

Donner une valeur approchée de ces probabilités à $10^{-2}$ prés.

\item Soit $T$ la durée de vie (en heures) d'un composant achetés au hasard. Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après $t$ heures de fonctionnement est : \[ P(T \geqslant t) = 0,02\e^{-5\times 10^{-4}t}+0,98e^{-10^{-4}t}.\]

\item Sachant que le composant acheté est encore en état de marche \numprint{1000} heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ? En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ prés.
\end{enumerate}