\partie{A}

\begin{enumerate}
\item On sait que $\probavar[\geqslant]{X}{10}=0,7$, soit $\e^{-10\lambda}=0,7$.

Ainsi, $-10\lambda=\ln0,7$, d'où $\lambda=\dfrac{\ln0,7}{-10}\approx0,036$.

\item On calcule :
\begin{align*}
\probacond{X\geqslant15}{(X\geqslant10)} & = \probavar[\geqslant]{X}{15-10}\\
& = \probavar[\geqslant]{X}{5}\\
& = \e^{-5\times0,036}\\
\Aboxed{\probacond{X\geqslant15}{(X\geqslant10)}& \approx 0,837}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
\probavar[\geqslant]{X}{t}=0,5 & \Leftrightarrow \e^{-0,036t}=0,5\\
& \Leftrightarrow -0,036t=-\ln2\\
& \Leftrightarrow t = \dfrac{\ln 2}{0,036}\\
& \Leftrightarrow t\approx 19,25
\end{aligned}$

On peut donc dire que la probabilité pour que le chauffe-eau fonctionne plus de 19 ans et 3 mois est égale à 0,5. 

\uline{Autrement dit, la demi-vie du chauffe-eau est 19 ans et 3 mois.}
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item D'après le cours, si Z suit la loi $\mathscr{N}\coord{\mu}{\sigma^2}$, alors, 
\[\text{P}(\mu-\sigma\leqslant\text{Z}\leqslant\mu+\sigma)=0,68.\]
Donc, ici, 
\[\text{P}(30-5\leqslant\text{Z}\leqslant30+5)=0,68\;,\]
ou encore :
\[\uline{\text{P}(25\leqslant\text{Z}\leqslant35)=0,68.}\]

\item On sait que $\text{P}(\mu-2\sigma\leqslant\text{Z}\leqslant\mu+2\sigma)=0,95$, donc on souhaite que la variance soit réduite de moitié, donc que $\sigma^2=\dfrac{5}{2}$.

Ainsi, $\sigma=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$, soit \uline{$\sigma\approx1,58$}.

\medskip

\emph{Une autre façon de faire :} On pose $\text{Y}=\dfrac{\text{Z}-30}{\sigma}$. Alors, Y suit la loi $\mathscr{N}\coord{0}{1}$.

De plus, $\sigma\text{Y}+30=\text{Z}$ donc :
\begin{align*}
\text{P}(25\leqslant\text{Z}\leqslant35)=0,95 & \Leftrightarrow \text{P}(25\leqslant\sigma\text{Y}+30\leqslant35)=0,95\\
& \Leftrightarrow \text{P}\left(\frac{-5}{\sigma}\leqslant\text{Y}\leqslant\frac{5}{\sigma}\right)=0,95
\end{align*}

Il faut donc que $\dfrac{5}{\sigma}=2\sigma$, soit $\sigma^2=\dfrac{5}{2}$, d'où \uline{$\sigma\approx1,58$}.
\end{enumerate}

\partie{C}

\begin{enumerate}
\item $n=500\geqslant30$, $p=0,95$ donc $np=475\geqslant5$ et $n(1-p)=25\geqslant5$ donc l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95} demandé est donné par :
\[
I=\intervFF{0,95-1,96\sqrt{\frac{0,95\times0,05}{500}}}{0,95+1,96\sqrt{\frac{0,95\times0,05}{500}}}\;,
\]
soit :
\[ \uline{I\approx\intervFF{0,931}{0,969}.}\]

\item La fréquence des chauffe-eaux conformes aux exigences est égale à $f=\dfrac{463}{500}=0,926$.

Or, $f\notin I$ donc \uline{on peut affirmer que l'objectif n'est pas atteint.}
\end{enumerate}