\exercice[style=R,N=3,verif]{Le chauffe-eau {\fontsize{9}{9}\selectfont(avec loi normale et intervalle de fluctuation)}}

On donnera la valeur approchée des probabilités à $10^{-3}$ près.

\partie{A}

Monsieur Icks désire acheter un chauffe-eau de marque IGRAIC. Le vendeur lui dit que la probabilité qu'il dure plus de 10 ans est égale à 0,7.

On note X la variable aléatoire représentant la durée de vie (en années) de ce chauffe-eau et on admet que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $\lambda$. 
\end{enumerate}

\medskip

On prendra dans la suite de cet exercice $\lambda=0,036$.

\begin{enumerate}[start=2]
\item Déterminer la probabilité pour que ce chauffe-eau fonctionne plus de 15 ans sachant qu'il a fonctionné au moins 10 ans.

\item Calculer $t$ tel que $\probavar[\geqslant]{X}{t}=0,5$, puis interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\partie{B}

L'usine dans laquelle sont fabriqués les chauffe-eaux de marque IGRAIC a constaté, après étude statistique, que la durée de vie d'un de ses chauffe-eaux pouvait \^etre représentée par une variable aléatoire Z suivant la loi normale de moyenne $\mu=30$ et d'écart-type $\sigma=5$.

\begin{enumerate}
\item \'Evaluer $\text{P}(25\leqslant\text{Z}\leqslant35)$.
\item Le patron de l'usine souhaite que cette dernière probabilité soit égale à 0,95 sans changer la durée de vie moyenne.

Déterminer alors l'écart-type qu'il faudrait obtenir.
\end{enumerate}

\partie{C}

Les méthodes de production ont été modifiées de sorte que \pourcent{95} des chauffe-eaux fabriqués aient une durée de vie comprise entre 25 ans et 35 ans.

Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on prélève 500 chauffe-eaux au hasard dans la production mensuelle.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95} de la proportion de chauffe-eaux ayant une durée de vie comprise entre 25 ans et 35 ans sur un échantillon de taille 500.

\item Parmi les 500 chauffe-eaux choisis, 463 sont considérés comme pouvant avoir une durée de vie conforme aux exigences.

Peut-on considérer que l'objectif visé par les modifications de fabrication a été atteint en considérant l'intervalle de fluctuation obtenu à la question précédente ?
\end{enumerate}