\begin{enumerate}
\item Notons X la variable aléatoire représentant la durée de vie de l'appareil, et $\rm Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$. Alors, Z suit la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}\coord{0}{1}$.

D'après l'énoncé, on a $\proba{120 \leqslant X \leqslant 200}=0,8$ ; 

donc $\proba{\dfrac{120-\mu}{\sigma} \leqslant Z \leqslant \dfrac{200-\mu}{\sigma}}=0,8$ (1). 

De plus, $\probavar[\leqslant]{X}{120}=0,05$ (2) ; donc $\probavar[\leqslant]{Z}{\dfrac{120-\mu}{\sigma}}=0,05$. \`A l'aide de la calculatrice, on trouve alors que $\dfrac{120-\mu}{\sigma}=-1,65$, soit $120-\mu=-1,65\sigma$, que l'on peut écrire : $\mu=120+1,65\sigma$ (3).

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Des égalités (1) et (2), on déduit que $\probavar[\leqslant]{Z}{\dfrac{200-\mu}{\sigma}}=0,85$. \`A l'aide de la calculatrice, on trouve alors que $\dfrac{200-\mu}{\sigma}=1,04$, soit $200-\mu=1,04\sigma$, que l'on peut écrire :\linebreak $\mu=200-1,04\sigma$ (4).

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Les égalités (3) et (4) nous permettent d'écrire alors :
\[ 
120+1,65\sigma = 200-1,04\sigma\;,
\]
soit :
\[
2,69\sigma=80\quad\text{ou encore :}
\sigma=\dfrac{80}{2,69}\approx29,74~(\text{soit }\sigma^2\approx884).
\]
Ainsi, $\mu\approx120+1,65\times29,74\approx169$.

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\underline{X suit donc la loi normale $\mathscr{N}\coord{169}{884}$.}

\item $\proba{200 \leqslant X \leqslant 230}=\probavar[\leqslant]{X}{230}-\probavar[\leqslant]{X}{200}\approx\underline{0,13}$.
\end{enumerate}
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