\sectionnn{Loi binomiale}

\exercice[style=A,N=1,verif]{Une histoire de QCM, Amérique du Sud 2009}

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On considère un questionnaire comportant cinq questions.

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Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites ($A$, $B$ et $C$), une seule d'entre elles étant exacte.

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Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres.

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Par exemple, le mot \og $BBAAC$\fg{} signifie que le candidat a répondu $B$  aux  première et deuxième questions, $A$ aux troisième et quatrième questions et $C$ à la cinquième question.

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\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien y-a-t'il de mots-réponses possible à ce questionnaire~?
		\item On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
		
Calculer la probabilité des événements suivants~:
		
		$E$~: \og le candidat a exactement une réponse exacte\fg.
		
		$F$~: \og le candidat n'a aucune réponse exacte\fg.
		
		$G$~: \og le mot-réponse du candidat est un palindrome\fg. (On précise qu'un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche~: par exemple, \og $BACAB$\fg{} est un palindrome).
	\end{enumerate}
	\item Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur  demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
	
	On désigne par $X$ le nombre d'élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.
	\begin{enumerate}	
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=28$ et $p=\dfrac{32}{243}$.
		\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
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