\begin{enumerate}
\item  On a l'arbre suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=.8]
\node (omega) at (0,0) {$\bullet$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (D) {$D$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (DB) {$\overline{D}$};

\draw (D) -- (4,3) node[right] (R1) {$R$};
\draw (D) -- (4,1) node[right] (R1B) {$\overline{R}$};

\draw (DB) -- (4,-1) node[right] (R2) {$R$};
\draw (DB) -- (4,-3) node[right] (R2B) {$\overline{R}$};

\node[above left] at ($0.5*(omega)+0.5*(D)$) {$0,06$};
\node[below left] at ($0.5*(omega)+0.5*(DB)$) {$0,94$};
\node[above left] at ($0.5*(D)+0.5*(R1)$) {$0,98$};
\node[below left] at ($0.5*(D)+0.5*(R1B)$) {$0,02$};
\node[above left] at ($0.5*(DB)+0.5*(R2)$) {$0,05$};
\node[below left] at ($0.5*(DB)+0.5*(R2B)$) {$0,95$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
		 
\bigskip 
\item
\begin{enumerate}
\item  En suivant la deuxi�me branche : $p(\text{D} \cap \overline{\text{R}}) = 0,06 \times 0,02 = \nombre{0,0012}$. 

\item Il y a erreur de contr�le pour les �v�nements disjoints  $\text{D} \cap \overline{\text{R}}$ et $\overline{\text{D}} \cap \text{R}$.

Sa probabilit� est donc : 

\begin{align*}
p(\text{D} \cap \overline{\text{R}}) + p(\overline{\text{D}} \cap \text{R})& = 0,06 \times 0,02 + 0,94 \times 0,05\\
& = \nombre{0,0012} + \nombre{0,0470}\\
& = \nombre{0,0482}.
\end{align*}
\end{enumerate} 

\item La probabilit� qu'un lecteur MP3 ne soit pas rejet� est �gale � :
\begin{align*}
p\left(\text{D} \cap \overline{\text{R}}\right) + p\left(\overline{\text{D}} \cap \overline{\text{R}}\right) & = 0,06 \times 0,02 + 0,94 \times 0,95\\
& = \nombre{0,0012} + \nombre{0,8930}\\
& = \nombre{0,8942}.
\end{align*}
\item 
\begin{enumerate}
\item  La variable al�atoire suit la loi binomiale de param�tres $n = 4$ et de probabilit� $p = \nombre{0,8942}$.

La probabilit� que $G = 120 - 50 = 70$~\euro{} est �gale � : $\dbinom{4}{4}\times \nombre{0,8942}^4 \approx \nombre{0,6394}$ ; 

La probabilit� que $G = 60 - 50 = 10$~\euro{} est �gale � :
\begin{flushright}
$\dbinom{4}{1}\times\nombre{0,8942}^3 \times (1 - \nombre{0,8942}) \approx \nombre{0,3026}$ ;
\end{flushright}

La probabilit� que $G = - 50$~\euro{} est �gale � $1 - (\nombre{0,6394} + \nombre{0,3026}) \approx \nombre{0,058}$.

\item 	L'esp�rance math�matique de $G$ est donc �gale � :
\begin{align*}
&~ 70 \times \nombre{0,6394} + 10 \times \nombre{0,3026} - 50 \times \nombre{0,058}\\
= &~ 44,758 + 3,036 - 2,9\\
\approx &~ 44,89~\text{\euro}. 
\end{align*}
	
Cela signifie qu'en moyenne on peut compter sur un b�n�fice de 44,89~\euro{} par lecteur produit.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage