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\exercice[style=A,N=1]{Urne et variable aléatoire}

On considère une urne contenant 3 boules jaunes, 2 bleues, 1 rouge et 4 vertes, toutes indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l'urne.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des événements suivants :
\begin{quote}
J = \og tirer une boule jaune \fg\\
B = \og tirer une boule bleue \fg\\
R = \og tirer une boule rouge \fg\\
V = \og tirer une boule verte \fg
\end{quote}
\item En fonction de la couleur tirée, on se voit attribuer une somme d'argent selon la règle suivante : si la boule tirée est :
\begin{itemize}
\item rouge, on gagne 10 \euro.
\item verte, on gagne 2 \euro.
\item jaune ou bleue, on gagne 3 \euro.
\end{itemize}

Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le gain réalisé.
\begin{enumerate}
\item Déduire de la question 1 les valeurs de P(X=2), P(X=3) et P(X=10).
\item Calculer l'espérance mathématique de X, sa variance et son écart type (à $10^{-2}$ près).
\end{enumerate}
\item Maintenant, on gagne toujours 10~\euro{} si la boule tirée est rouge, 2~\euro{} si elle est verte mais on gagne 3~\euro{} si elle est jaune et $m$~\euro{} si elle est bleue, $m$ désignant un réel positif.\\
Calculer $m$ pour que le gain moyen espéré soit de $4,5$~\euro.
\end{enumerate}