\begin{enumerate}
\item On a :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}%
[level 1/.style={sibling distance=40mm, distance=20mm},%
level 2/.style={sibling distance=10mm, distance=30 mm},%
level 3/.style={distance=10mm,->,>=stealth',draw}
]
\node {$\Omega$} 
	child { node {$R_1$} 
				child { node {$R_2$} edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{4}{7}$}}
				child { node {$B_2$} edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{2}{7}$}}
				child { node {$N_2$} edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{1}{7}$}}	
			edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{k}{2k+3}$}	
		  }
	child { node {$B_1$} 
				child { node {$R_2$} edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{3}{7}$} }
				child { node {$B_2$}edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{3}{7}$} }
				child { node {$N_2$}edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{1}{7}$} }	
			edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{k+1}{2k+3}$}	
		  }
	child { node {$N_1$} 
				child { node {$R_2$} edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{3}{7}$} }
				child { node {$B_2$} edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{2}{7}$}}
				child { node {$N_2$}edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{2}{7}$} }
			edge from parent node[fill=white,inner sep=2pt] {$\frac{2}{2k+3}$}		
		  };
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après la formule des probabilités totales :
\begin{align*}
\proba{D} & = \probacond{B_2}{R_1}+\probacond{N_2}{R_1}+\probacond{R_2}{B_1}+\probacond{N_2}{B_1}+\probacond{R_2}{N_1}+\probacond{B_2}{N_1}\\
& = 1- \left(\probacond{R_2}{R_1}+\probacond{B_2}{B_1}+\probacond{N_2}{N_1}\right)\\
& =1-\left(\frac{k}{2k+3}\times\frac{4}{7} + \frac{k+1}{2k+3}\times\frac{3}{7} + \frac{2}{2k+3}\times\frac{2}{7}\right)\\
& =1-\frac{4k+3k+3+4}{14k+21}\\
\Aboxed{\proba{D} & = \dfrac{k+2}{2k+3}}
\end{align*}

\item Dans cette question, $k=1$ donc $\proba{D}=\dfrac{3}{5}$.

Soit $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre d'expériences où on tire deux boules de couleurs différentes. Chaque expérience est répétée de façons indépendantes $n$ fois et chacune d'elles comporte deux issues : \og les deux boules sont de couleurs différentes \fg (succès de probabilité $\proba{D}=\frac{3}{5}$) et \og les deux boules sont de la même couleur \fg (échec). C'est donc un schéma de Bernoulli et donc, $Y \sim \mathscr{B}\coord{n}{\frac{3}{5}}$ ($Y$ suit la loi binomiale de paramètre $n$ et $p=\frac{3}{5}$).

Ainsi, 
\begin{align*}
p(E) & =p(Y \geq 1)\\
& =1-p(Y=0)\\
& =1-\dbinom{n}{0}\left(\frac{3}{5}\right)^0\left(1-\frac{3}{5}\right)^n\\
& =1-\left(\frac{2}{5}\right)^n.
\end{align*}

On veut que $P(Y\geq 1) \geqslant 0,99$ donc nous devons résoudre l'inéquation en $n$ suivante : 
\[ 1-\left(\frac{2}{5}\right)^n \geqslant 0,99\]
Soit :
\begin{align*}
& \left(\frac{2}{5}\right)^n \leqslant 0,01\\
\Longleftrightarrow\ & \ln \left[\left(\frac{2}{5}\right)^n\right] \leqslant \ln 0,01\qquad\textrm{(stricte croissance du ln)}\\
\Longleftrightarrow\ & n\ln\left(\frac{2}{5}\right) \leqslant \ln 0,01\\
\Longleftrightarrow\ & n \geqslant \dfrac{\ln 0,01}{\ln\frac{2}{5}}\qquad \textrm{car } \ln\frac{2}{5}<0\\
\Longleftrightarrow\ & n \geqslant 5,0259.
\end{align*}

\underline{Ainsi, le plus petit entier tel que $\proba{E} \geqslant 0,99$ est $n=6$.}


\item La loi de probabilité de $X$ est :

\begin{itemize}
\item  $\probavar{X}{0}=\probacond{B_2}{B_1}+\probacond{N_2}{B_1}+\probacond{B_2}{N_1}+\probacond{N_2}{N_1}=\dfrac{4k+12}{14k+21}$ ;
\item  $\probavar{X}{1}=\dfrac{3}{7}$ ;
\item  $\probavar{X}{2}=\dfrac{4k}{14k+21}$.
\end{itemize}

Ainsi, l'espérance mathématique de $X$ est :
\begin{align*}
\esp{X} & =0\times\probavar{X}{0}+1\times\probavar{X}{1}+2\times\probavar{X}{2}\\
& =\frac{6k+9}{14k+21}+\frac{8k}{14k+21}\\
& = \frac{14k+9}{14k+21}\\
& =\frac{14k+21-12}{14k+21}\\
& =1-\frac{12}{14k+21}
\end{align*}

Or, $\dfrac{12}{14k+21}>0$ donc \underline{$\esp{X}<1$}.
\end{enumerate}
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