\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $u_1=5u_0-6=5\times14-6=70-6=64$.
\item $u_2=5u_1-6=5\times64-6=320-6=314$.
\item $u_3=5u_2-6=5\times314-6=\numprint{1570}-6=\numprint{1564}$.
\item $u_4=5u_3-6=5\times\numprint{1564}-6=\numprint{7820}-6=\numprint{7814}$.
\end{itemize}

\underline{On peut conjecturer que les termes de la suites se terminent par \og 14 \fg{} ou \og 64 \fg.}

\item $u_{n+2}=5u_{n+1}-6=5\left(5u_n-6\right)-6=25u_n-36$.\\
Or, $25\equiv1\mod4$ et $36\equiv0\mod4$ donc \underline{$u_{n+2}\equiv u_n\mod4$}.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, $u_0=4\equiv2\mod4$ et $u_{n+2}\equiv u_n\mod4$ donc pour tout entier naturel $k$, $u_{2k}\equiv u_0\mod4$ donc \underline{$u_{2k}\equiv2\mod4$}.\\
De m\^eme, $u_1=64\equiv0\mod4$ et $u_{n+2}\equiv u_n\mod4$ donc pour tout entier naturel $k$, $u_{2k+1}\equiv u_1\mod4$ donc \underline{$u_{2k+1}\equiv0\mod4$}.

\item 
\begin{enumerate}
\item Posons $\mathscr{P}_n$ la propriété : $2u_n=5^{n+2}+3$.\\

\begin{itemize}
\item $\mathscr{P}_0$ : $2u_0=5^2+3=28$ et nous savons que $u_0=14$ donc $\mathscr{P}_0$ est vraie.\\
L'initialisation est alors réalisée.

\medskip

\item Supposons maintenant que $\mathscr{P}_n$ soit vraie pour un entier $n$ donné (hypothèse de récurrence : $2u_n=5^{n+2}+3$).\\
Alors, 
\begin{align*}
2u_{n+1} & = 2(5u_n-6)\\
& = 5\times2u_n-12\\
& = 5\times(5^{n+2}+3)-12 \text{ (par hypothèse de récurrence)}\\
& = 5^{n+3}+15-12\\
& = 5^{n+3}+3
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.\\
\underline{Ainsi, $\mathscr{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.}
\end{itemize}

\item $5^2=25\equiv25\mod{100}$ et $5^3=125\equiv25\mod{100}$ donc, par récurrence immédiate, $5^{n+2}\equiv25\mod{100}$ pour $n\geqslant2$.\\
Ainsi, $5^{n+2}+3\equiv28\mod{100}$, soit, d'après la question précédente,\linebreak$\underline{2u_n\equiv28\mod{100}}$.

\medskip

$\pgcd{2}{100}\neq1$ donc on ne peut pas simplifier par 2 cette dernière congruence. On ne peut donc pas dire que $u_n\equiv14\mod{100}$.
\end{enumerate}

\item Posons $u_n=100A_n+B_n$, où $A_n$ et $B_n$ sont deux entiers naturels, avec $0\leqslant B_n<100$.\\
Alors, $2u_n=200A_n+2B_n\equiv2B_n\mod{100}$.\\
Ainsi, d'après la question 3.b, $2B_n\equiv28\mod{100}$.
On en déduit alors que $2B_n=28$ ou $2B_n=128$ (car $B_n<100$), soit $B_n=14$ ou $B_n=64$.\\
\underline{Les deux derniers chiffres de $u_n$ sont donc \og 14 \fg{} ou \og 64 \fg.}

\item D'après la question précédente, quel que soit $n$, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont pairs.\\
Donc $\underline{\pgcd{u_n}{u_{n+1}}=2}$.
\end{enumerate}