

\sectionnn{Exercices de recherche avancées}

\exercice[style=R,N=4]{Suites et congruences}

On considère la suite \suite{u}{n}{} d'entiers naturels définie par $u_0=14$ et $u_{n+1}=5u_n-6$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.\\
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de $u_n$ ?
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}\equiv u_n\mod 4$.\\
En déduire que pour tout entier naturel $k$, $u_{2k}\equiv 2\mod 4$ et $u_{2k+1}\equiv0\mod 4$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $2u_n=5^{n+2}+3$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $2u_n\equiv28\mod{100}$.\\
Peut-on en conclure que $u_n\equiv14\mod{100}$ ?
\end{enumerate}
\item Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_n$ suivant les valeurs de $n$ et valider ainsi la conjecture faite à la question 1.
\item Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite \suite{u}{n}{} est constant et préciser sa valeur.
\end{enumerate}