\begin{enumerate}
\item Posons : $(\mathscr{P}_n)$ : $1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$.\\
Démontrons que $(\mathscr{P}_n)$  est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.

\medskip

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$(\mathscr{P}_0)$ est vraie car $1^3=\left[\dfrac{1\times(1+1)}{2}\right]^2$.

\medskip

\item Supposons que $(\mathscr{P}_n)$ soient vraie pour un $n$ non nul donné. Alors,

\begin{align*}
1^3+2^3+\cdots+n^3+(n+1)^3 & =\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2+(n+1)^3\\
& = (n+1)^2\left[\dfrac{n^2}{4}+(n+1)\right]\\
& = (n+1)^2\left[\dfrac{n^2+4n+4}{4} \right]\\
& = (n+1)^2\left[\dfrac{(n+2)^2}{4}\right]\\
& = \left[\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\right]^2
\end{align*}

Ainsi, $(\mathscr{P}_n)\Rightarrow(\mathscr{P}_{n+1})$   ; l'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}

\medskip

\underline{La propriété est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.}

\item 
\begin{enumerate}
\item $S_{2k}=\left[\dfrac{2k(2k+1)}{2}\right]^2=k^2(2k+1)^2$ et

$S_{2k+1}=\left[\dfrac{(2k+1)(2k+2)}{2}\right]^2=\left[\dfrac{2(2k+1)(k+1)}{2}\right]^2=(k+1)^2(2k+1)^2$.

Or, $\pgcd{ka}{kb}=k\pgcd{a}{b}$. Donc, 
\[
\pgcd{k^2(2k+1)^2}{(k+1)^2(2k+1)^2}=(2k+1)^2\pgcd{k^2}{(k+1)^2}\;,
\]
soit :
\[
\boxed{\pgcd{S_{2k}}{S_{2k+1}}=(2k+1)^2\pgcd{k^2}{(k+1)^2}}
\]

\item $k$ et $k+1$ sont deux entiers consécutifs ; donc l'un est pair, l'autre impair.

De plus, $n>1$ donc $k\geqslant1$, soit $\pgcd{k}{k+1}\neq0$.

\underline{D'où $\pgcd{k}{k+1}=1$.}

\item De la question précédente et de la propriété admise, on a :
\[
\pgcd{k}{k+1}=1 \Rightarrow \pgcd{k^2}{(k+1)^2}=1\;,
\]
d'où
\[
(2k+1)^2\pgcd{k^2}{(k+1)^2}=(2k+1)^2.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{\pgcd{S_{2k}}{S_{2k+1}}=(2k+1)^2.}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Si $k=0$, $2k+1=1$ et $2k+3=3$ ; on a bien $\pgcd{1}{3}=1$.

\medskip

Supposons maintenant que $k>0$.

\medskip

$\begin{aligned}[t]
2k+3 & =(2k+1)+2\quad,\quad 0\leqslant 2 <2k+1\\
2k+1 & = 2k + 1\quad,\quad 0\leqslant 1<2\\
2 & = 2\times1+0
\end{aligned}$

Le dernier reste non nul est 1. 

\underline{Par conséquent, $\pgcd{2k+1}{2k+3}=1.$}

\item On : 
\begin{align*}
\pgcd{S_{2k+1}}{S_{2k+2}} & = \pgcd{\dfrac{(2k+1)^2(2k+2)^2}{4}}{\dfrac{(2k+2)^2(2k+3)^2}{4}}\\
& = \pgcd{(2k+1)^2(k+1)^2}{(k+1)^2(2k+3)^2}\\
& = (k+1)^2\pgcd{(2k+1)^2}{(2k+3)^2}\\
& = (k+1)^2\times1\\
\Aboxed{\pgcd{S_{2k+1}}{S_{2k+2}} & = (k+1)^2.}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item Des questions précédentes, on peut déduire que 
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\pgcd{S_{2k}}{S_{2k+1}}=1 \Rightarrow k=0 \Rightarrow n=0 \leftarrow\text{ impossible}.\\
\pgcd{S_{2k+1}}{S_{2k+2}}=1 \Rightarrow k=0 \Rightarrow n=1.
\end{array}
\right.
\]

\underline{Ainsi, il existe une unique valeur de $n$ pour laquelle $\pgcd{S_n}{S_{n+1}}=1$ : $n=1$.}
\end{enumerate}