\exercice[style=R,N=4]{$\displaystyle\sum_{p=1}^np^3$ et pgcd}

Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant : 

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\og \'Etant donnés deux entiers naturels $a$ et $b$ non nuls, si $\pgcd{a}{b}=1$ alors $\pgcd{a^2}{b^2}=1$. \fg

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La suite \suite{S}{n}{n\geqslant1} est définie par :

\[
S_n=\sum_{p=1}^{n} p^3.
\]

On se propose de déterminer, pour tout entier naturel $n$ non nul, le plus grand commun diviseur de $S_n$ et $S_{n+1}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier $n$ non nul, $S_n=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$.
\item \'Etude du cas où $n$ est pair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n=2k$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer, que $\pgcd{S_{2k}}{S_{2k+1}}=(2k+1)^2 \pgcd{k^2}{(k+1)^2}$.
\item Montrer que $k$ et $k+1$ sont premiers entre eux.
\item En déduire $\pgcd{S_{2k}}{S_{2k+1}}$.
\end{enumerate}
\item Étude du cas où $n$ est impair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n = 2k + 1$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les entiers $2k + 1$ et $2k + 3$ sont premiers entre eux.
\item Déterminer $\pgcd{S_{2k+1}}{S_{2k+2}}$.
\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes qu'il existe une unique valeur de $n$, que l'on déterminera, pour laquelle $S_n$ et $S_{n+1}$ sont premiers entre eux.
\end{enumerate}