\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
10^2=100 & =9\times11+1\\
10^3=\numprint{1000} & = 90\times11+10\\
10^4=\numprint{10000} & = 909\times11+1\\
10^5=\numprint{100000} & =\numprint{9090}\times11+10
\end{aligned}$

On peut conjecturer que lorsque $n$ est pair, le reste de la division euclidienne de $10^n$ par 11 est égal à 1 et lorsqu'il est impair, ce reste est égal à 10.

\item 
\begin{itemize}
\item Supposons que $n$ soit un entier naturel pair. Alors, $n=2k$, $k\in\N$ et\\ $10^n=10^{2k}=100^k=(99+1)^k$.

Or, $(a+b)^k=\displaystyle\sum_{p=0}^k c_p a^p b^{k-p}$, où les $c_p$ sont des coefficients entiers.

Autrement dit, $(99+1)^k=99^k+99^{k-1}c_1+99^{k-2}c_2+\cdots+99c_{p-1}+1$.

Chaque terme de cette somme (sauf le dernier) étant un multiple de 99, le reste de la division euclidienne de $100^k$ par 11 est égale à 1 (le dernier terme de la somme).

\uline{Cela montre que si $n$ est pair, alors le reste de la division euclidienne de $10^n$ par 11 est égal à 1.}

\item Supposons que $n$ soit impair. Alors, $n=2k+1$, $k\in\N$ et $10^n=10^{2k+1}=10^{2k}\times10$.

D'après ce qui a été fait précédemment, on peut alors écrire :
\[
10^{2k}\times10=10\times99^k+10\times99^{k-1}c_1+10\times99^{k-2}c_2+\cdots+10\times99c_{p-1}+10.
\]

Ainsi, le reste de la division euclidienne de $10^{2k+1}$ par 11 est égal à 10.
\end{itemize}

La conjecture est alors démontrée.
\end{enumerate}