\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
31 & = 1\times28+3\\
28 & = 9\times3+1\\
3  & = 3\times1+0
\end{aligned}$

\uline{Donc $PGCD\coord{31}{28}=1$.}

De l'algorithme précédent, on peut écrire :

$\begin{aligned}[t]
1 & = 28-9\times3\\
  & = 28 - 9\times(31-28)\\
  & = 10\times28-9\times31
\end{aligned}$

Ainsi, si $x=-9$ et $y=-10$, $31x-28y=1$.

\item On a :
\[
\begin{array}{c@{\;\times\;}c@{\;-\;}c@{\;\times\;}c@{\;=\;}c}
31 & (-9) & 28 & (-10) & 1\\
31 &   x  & 28 &   y   & 1\\
\hline
31 & (-9-x) & 28 & (-10-y) & 0
\end{array}
\]
Ainsi :
\[
31(-9-x)=28(-10-y).
\]
Or, $PGCD\coord{31}{28}=1$ donc d'après le théorème de Gauss, 31 divise $(-10-y)$ et 28 divise $(-9-x)$ :
\[
\begin{cases}
-9-x & = 28k\\
-10-y & = 31k
\end{cases}\quad,\quad k\in\Z
\]
soit :
\[
\boxed{
\begin{cases}
x & = -9-28k\\
y & = -10-31k
\end{cases}\quad,\quad k\in\Z}
\]
\end{enumerate}
\newpage