\begin{itemize}
\item Première méthode : nous allons utiliser l'algorithme des différences, vu en classe de 3\ieme.
\begin{align*}
\pgcd{3a+5b}{a+2b} 
& = \pgcd{a+2b}{3a+5b-(a+2b)}\\
& = \pgcd{a+2b}{2a+3b}\\
& \textcolor{gray}{= \pgcd{a+2b}{2a+3b-(a+2b)}}\\
& = \pgcd{a+2b}{a+b}\\
& \textcolor{gray}{= \pgcd{a+b}{a+2b-(a+b)}}\\
& = \pgcd{a+b}{b}\\
& \textcolor{gray}{= \pgcd{b}{a+b-b}}\\
& = \pgcd{b}{a}\\
& = 1\quad\text{car $a$ et $b$ sont premiers entre eux.}
\end{align*}

\item Deuxième méthode : $\pgcd{a}{b}=1$ donc il existe un couple d'entiers relatifs {u}{v} tel que :
\[au+bv=1.\]
Nous allons montrer qu'il existe un couple d'entiers relatifs {u'}{v'} tel que:
\[
(3a+5b)u'+(a+2b)v'=1.
\]
\begin{align*}
(3a+5b)u'+(a+2b)v' 
& = 3au'+5bu'+av'+2bv'\\
& = a(3u'+v')+b(5u'+2v').
\end{align*}

Pouvons-nous choisir $u'$ et $v'$ de sorte que 
$\begin{cases}
3u'+v'=u & (L_1)\\
5u'+2v'=v & (L_2)
\end{cases}$ ?

Pour répondre à cette question, cherchons à résoudre ce dernier système.

\medskip

En faisant $2(L_1)-(L_2)$, on obtient :
\[
u'=2u-v
\]
et en faisant $-5(L_1)+3(L_2)$, on obtient :
\[
v'=-5u+3v.
\]
En prenant ces valeurs de $u'$ et $v'$, on a $(3a+5b)u'+(a+2b)v'=au+v=1$.

\uline{Ainsi, d'après le théorème de Bézout, $\pgcd{3a+5b}{a+2b}=1$.}
\end{itemize}