\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item $n=1$ : $a=7$ et $b=7$ donc $\pgcd{a}{b}=7$.
\item $n=11$ : $a=47$ et $b=57$ donc $\pgcd{a}{b}=1$.
\item $n=15$ : $a=63$ et $b=77$ donc $\pgcd{a}{b}=7$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
5a-4b & = 5(4n+3)-4(5n+2)\\
			& = 20n+15-20n-8\\
			& = 7.
\end{aligned}$

Ainsi, $5\left(\dfrac{a}{7}\right)-4\left(\dfrac{b}{7}\right)=1$. De plus, 5 et 7 sont premiers entre eux, et il en est de même pour 4 et 7.

Par conséquent, $a$ et $b$ sont des multiples de 7 et donc $d=\pgcd{a}{b}$ peut valoir 1 ou 7.

\item
\begin{enumerate}
\item $4n+3=7k \iff 4n-7k=-3$.

Une solution particulière est $\coord{n_0}{k_0}=\coord{1}{1}$. On a alors :
\begin{align*}
4\times1-7\times1=-3\\
4\times n-7\times k=-3
\end{align*}
donc :
\[
4(1-n)-7(1-k)=0
\]
soit:
\[
4(1-n)=7(1-k).
\]
4 et 7 étant premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss :
\[
\begin{cases}
1-k=4q\\
1-n=7q
\end{cases}\quad q\in\Z
\]
soit :
\[
\begin{cases}
k=1-4q\\
n=1-7q
\end{cases}\quad q\in\Z_-\text{ (car $n$ et $k$ doivent être positifs)}.
\]

\item Par un raisonnement analogue à celui adopté à la question précédente, on a :
\[
\begin{cases}
k'=1-5q'\\
n=1-7q'
\end{cases}\quad q'\in\Z_-.
\]
\end{enumerate}

\item D'après la question précédente, si le reste de la division euclidienne de $n$ par 7 est égal à 1, alors $a$ et $b$ sont des multiples de 7 et donc $d=7$.

Dans le reste des cas (sans jeu de mot), $d=1$.
\end{enumerate}