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\exercice[style=R,N=3]{Divisibilité}

Le nombre $n$ est un entier naturel non nul. 

On pose $a = 4n + 3$ et $b = 5n + 2$. On note $d$ le PGCD de $a$ et $b$.

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $d$ dans les cas suivants : $n=1$, $n=11$, $n=15$.

\item Calculer $5a-4b$ et en déduire les valeurs possibles de $d$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les entiers naturels $n$ et $k$ tels que $4n + 3 = 7k$.

\item Déterminer les entiers naturels $n$ et $k'$ tels que $5n + 2 = 7k'$.
\end{enumerate}

\item Soit $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par 7. 

Déduire des questions précédentes la valeur de $r$ pour
laquelle $d$ vaut 7. 

Pour quelles valeurs de $r$ $d$ est-il égal à 1 ?
\end{enumerate}