\exercice[style=R,N=5]{Théorème des restes chinois}

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels premiers entre eux.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que si $\coord{a}{b}\in\Z\times\Z$, alors le système $\begin{cases}
x\equiv a\mod m\\
x\equiv b\mod n
\end{cases}$ admet une unique solution $x$ modulo $mn$.

\item Application : dans une boutique qui vend des macarons, il y a des boîtes de rangement par 5 et par 9.

Une société souhaite acheter un certain nombre de macarons. La préparatrice constate que si elle ne prend que des rangements par 5, il lui reste à la fin 3 macarons. Si elle ne prend que des rangements par 9, il lui reste au final 2 macarons.

Combien la société a-t-il commandé de macarons sachant que ce nombre est compris entre 100 et 140 ?
\end{enumerate}