\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \og Z \fg{} est en position 25, donc on pose $x=25$.
\[
3x+7=75+7=82=3\times26+4\equiv2\mod26.
\]
Donc la position de la lettre chiffrée est 4, ce qui correspond à la lettre \og E \fg.

\underline{La lettre \og Z \fg{} est donc chiffrée en la lettre \og E \fg.}


\item \og U \fg{}  est en position 20, donc on pose $x=20$.
\[
3x+7=60+7=67=2\times26+15\equiv15\mod26.
\]
Donc la position de la lettre chiffrée est 15, ce qui correspond à la lettre \og P \fg.

\medskip

\og T \fg{}  est en position 19, donc on pose $x=19$.
\[
3x+7=64=2\times26+12\equiv12\mod26.
\]
Donc la position de la lettre chiffrée est 12, ce qui correspond à la lettre \og M \fg.

\bigskip

\uline{Le mot \og ZUT \fg{} est donc chiffré en \og EPM \fg{} à l'aide du chiffrement d'Adam.}

\item  \og S \fg{} est en position 18. On cherche donc $x$ tel que :
\begin{align*}
3x+7\equiv18\mod26 & \iff 3x\equiv11\mod26
\end{align*}
$\pgcd{3}{26}=1$ donc 3 est inversible modulo 26 (voir exercice 33 -- cliquer ici : \ref{spe-cns-inversibilite} pour voir l'énoncé). Son inverse est 9 car $3\times9=27\equiv1\mod27$. D'où :
\begin{align*}
3x+7\equiv18\mod26 & \iff 9\times3x\equiv9\times11\mod26\\
& \iff x\equiv21\mod26
\end{align*}

\uline{Ainsi, c'est la lettre \og V \fg{} qui est chiffrée en la lettre \og S \fg{} par le chiffrement d'Adam.}

\item On s'inspire de la question précédente pour trouver $x$ tel que $3x+7\equiv y\mod 26$.
\begin{align*}
3x+7\equiv y\mod 26 & \iff 3x\equiv y-7\mod26\\
& \iff x\equiv 9(y-7)\mod26\\
& \iff x\equiv 9y-63\mod26\\
& \iff \boxed{x\equiv 9y-11\mod26\text{ ou, si on veut : } x\equiv9y+15\mod26}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item Pour \og Z \fg{} : $x=25$ et $2x+8=58\equiv6\mod26$ donc  la lettre chiffrée est \og G \fg.
\item Pour \og U \fg{} : $x=20$ et $2x+8=48\equiv22\mod26$ donc  la lettre chiffrée est \og W \fg.
\item Pour \og T \fg{} : $x=19$ et $2x+8=46\equiv20\mod26$ donc  la lettre chiffrée est \og U \fg.
\end{itemize}

\uline{Ainsi, le mot \og ZUT \fg{} est chiffré en \og GWU \fg{}  avec ce chiffrement.}

\item \og M \fg{} est en position $x=12$ et $2x+8=32\equiv6\mod26$ donc \og M \fg{} est chiffrée en \og G \fg, tout comme \og Z \fg.

On peut en déduire qu'il est difficile de déchiffrer un mot avec ce chiffrement. En effet, \og GWE \fg{} peut se déchiffrer en \og ZUT \fg, mais aussi en \og MUT \fg.

En fait, \og W \fg{} a deux \og antécédents \fg{} par ce chiffrement (U et H) et \og U \fg{} aussi (G et T). Il y a donc en tout $2^3=8$ choix possibles pour le mot d'origine.

\item Le chiffrement de Yves ne convient pas car le coefficient devant $x$ n'est pas premier avec 26.

En effet, quand on souhaite déchiffrer une lettre, on doit résoudre l'équation $ax\equiv y\mod26$. Il faut donc que $a$ et 26 soient premiers entre eux pour que $a$ soit inversible modulo 26.

Ainsi, les chiffrements où l'on multiplie $x$ par 1, 2, 13 et 26 (ou tout multiple de ces nombres) ne conviennent pas si l'on souhaite déchiffrer aisément.
\end{enumerate}
\end{enumerate}