\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
A^2 & = \begin{pmatrix}2 & 4\\-1 & -2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2 & 4\\-1 & -2\end{pmatrix}\\
A^2& = \begin{pmatrix}2\times2+4\times(-1) & 2\times4+4\times(-2)\\-1\times2+(-2)\times(-1) & -1\times4+(-1)\times(-2)\end{pmatrix}\\
A^2 & = \begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}
\end{aligned}$
\newpage
\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$(I+A)^1=I+A=I+1A$ donc l'initialisation est faite.

\medskip

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ strictement positif donné, $(I+A)^k=I+kA$.
\begin{align*}
(I+A)^{k+1} & = (I+A)^k(I+A)\\
& = (I+kA)(I+A)\qquad\text{par hypothèse de récurrence}\\
& = I^2+IA+kAI+kA^2\qquad\text{en distribuant}\\
& = I+A+kA\qquad\text{car $A^2$ s'annule et $IA=AI=A$}\\
& = I+(1+k)A.
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.

\uline{L'égalité est alors vraie pour tout entier naturel non nul.}

\item On peut remarquer que $B=I+A$ ; ainsi, d'après la question précédente, 
\[ 
\boxed{B^n=I+nA=\begin{pmatrix}
1+2n & 4n\\-n & 1-2n
\end{pmatrix}}
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}