\exercice[style=R,N=3]{Puissance d'une matrice et raisonnement par récurrence}
On considère les matrices :
\[
A=\begin{pmatrix}
2 & 4\\-1 & -2
\end{pmatrix}\qquad,\qquad B=\begin{pmatrix}
3 & 4\\-1 & -1
\end{pmatrix}
\qquad\text{et}\qquad I=\begin{pmatrix}
1 & 0\\0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $A^2$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $(I+A)^n=I+nA$.
\item En déduire une expression de $B^n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
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