\begin{enumerate}
\item On trouve $N^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\6&18&-18\\6&18&-18
\end{pmatrix}$ et $N^3=\mathbb{O}$.

\item $A=N-I_3$ donc $A^n=(N-I_3)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}\dbinom{n}{k}N^kI_3^{n-k}$ d'après la formule du binôme de Newton.

Or, $I_3^{n-k}=I_3$ donc $A^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}\dbinom{n}{k}N^k$. 

De plus, pour $k\geqslant3$, $N^k=\mathbb{O}$ donc $A^n=I_3+\dbinom{n}{1}N+\dbinom{n}{2}N^2$, soit $\boxed{A^n=I_3+nN+\dfrac{n(n-1)}{2}N^2}$.
\end{enumerate}