\exercice[style=R,N=4]{Avec une matrice nilpotente}

On dit qu'une matrice $N$ est \textit{nilpotente d'ordre $k$} s'il existe un entier naturel non nul $k$ tel que $N^k=\mathbb{O}$, où $\mathbb{O}$ représente la matrice nulle, c'est-à-dire la matrice dont tous les coefficients sont nuls.

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Soient $N=\begin{pmatrix}3&9&-9\\2&0&0\\3&3&-3\end{pmatrix}$, $A=\begin{pmatrix}4&9&-9\\2&1&0\\3&3&-2\end{pmatrix}$ et $I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de votre calculatrice, vérifier que $N$ est nilpotente d'ordre 3.
\item En exprimant $A$ en fonction de $N$ et $I_3$, exprimer $A^n$ pour tout entier naturel $n$ non nul.

\textit{Aide -- on pourra s'aider de la formule du binôme de Newton : }$(A+B)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}\dbinom{n}{k}A^kB^{n-k}$, \textit{où $A$ et $B$ sont deux matrices quelconques et où :}
\[
\dbinom{n}{k}=\dfrac{2\times3\times4\times\cdots\times n}{(2\times3\times\cdots\times k)\times\big[2\times3\times4\times\cdots\times(n-k)\big]}.
\]
\end{enumerate}