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\sectionnn{\'Ecritures matricielles (suites numériques)}

\exercice[style=R,N=5]{Suites imbriquées et matrices}

On considère les suites \suite{u}{n}{n\geqslant0} et \suite{v}{n}{n\geqslant0} définies par leur premier terme $u_0=1$ et $v_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par les relations suivantes :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
u_{n+1}=2u_n+3v_n+1\\
v_{n+1}=-u_n-2v_n-1
\end{array}
\right.
\]
Ces conditions peuvent s'écrire de façon matricielle sous la forme $U_{n+1}=AU_n+B$, avec $U_n=\dbinom{u_n}{v_n}$, $A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}$ et $B=\dbinom{1}{-1}$.
\begin{enumerate}
\item Trouver la matrice colonne $C$ telle que $C=AC+B$.
\item On pose $X_n=U_n-C$.

Montrer que $X_{n+1}=AX_n$, puis en déduire que $X_n=A^nX_0$.

\item On pose $P=\begin{pmatrix}3&1\\-1&-1\end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$.

Vérifiez que $A=PDP^{-1}$, puis en déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que\linebreak $A^n=PD^nP^{-1}$ pour $n\geqslant0$.

\item En déduire alors une expression de $X_n$, puis de $U_n$, et donc de $u_n$ et $v_n$.
\end{enumerate}