\begin{enumerate}
\item $A-xI_2=\begin{pmatrix}5&-3\\4&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}5-x&-3\\4&-2-x\end{pmatrix}$.

Ainsi, $\det(A-xI_2)=(5-x)(-2-x)-4(-3)=-10-5x+2x+x^2+12=\underline{x^2-3x+2=P(x)}$.

\item Les deux racines de $P(x)$ sont $x_1=2$ et $x_2=1$ ($x_1>x_2$).

\item $X_2=A-I_2=\begin{pmatrix}4&-3\\4&-3\end{pmatrix}$ et $X_1=A-2I_2=\begin{pmatrix}3&-3\\4&-4\end{pmatrix}$.

Posons $C_2=\dbinom{x}{y}$ ; alors, $X_2C_2=0 \iff 4x-3y=0 \iff
x=\dfrac{3}{4}y$. On peut alors prendre, par exemple, $y=4$, donc $x=3$.

Ainsi, $\boxed{C_2=\dbinom{3}{4}}$.

\medskip

Posons $C_1=\dbinom{x}{y}$ ; alors, $X_1C_1=0 \iff \left\{\begin{array}{l}3x-3y=0\\4x-4y=0\end{array}\right. \iff
x=y$. On peut alors prendre, par exemple, $x=y=1$.

Ainsi, $\boxed{C_1=\dbinom{1}{1}}$.

\item On a : $P=\begin{pmatrix}1 & 3\\1 & 4\end{pmatrix}$. La calculatrice nous donne : $P^{-1}=\begin{pmatrix}4&-3\\-1&1\end{pmatrix}$.

On a alors : $PDP^{-1}=\begin{pmatrix}1&3\\1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-3\\-1&1\end{pmatrix}=A$.

\item
\begin{itemize}
\item Initialisation : $D^1=D=\begin{pmatrix}2^1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
\item Hérédité : supposons que pour un entier $k\geqslant1$ fixé, $D^k=\begin{pmatrix}2^k & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$. Alors :
\[
D^{k+1}=D^kD=\begin{pmatrix}2^k & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{k+1} & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.
\]
L'hérédité est alors vérifiée. Ainsi, pour tout $n\geqslant1$, $D^n=\begin{pmatrix}2^n&0\\0&1\end{pmatrix}$.
\end{itemize}

\item On peut voir que :
\[
A^n=\big(PDP^{-1}\big)\big(PDP^{-1}\big)\cdots\big(PDP^{-1}\big)
\]
Or, $P^{-1}P=I_2$ donc :
\begin{align*}
A^n & = PDI_2DI_2D\cdots DP^{-1}\\
& = PD^nP^{-1}\\
& = \begin{pmatrix}3&1\\4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2^n&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\4&-3\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}3&1\\4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2^n&2^n\\4&-3\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}-3\times2^n+4 & 3\times2^n-3\\
4-2^{n+2} & 2^{n+2}-3
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{enumerate}