\exercice[style=R,N=4]{Diagonalisation d'une matrice}

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}5&-3\\4&-2\end{pmatrix}$.

L'objectif de cet exercice est de trouver deux matrices $P=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix}x_1&0\\0&x_2
\end{pmatrix}$ telles que $A=PDP^{-1}$.

On pose $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ la matrice identité.

On rappelle que le déterminant d'une matrice carrée $C=\begin{pmatrix}\alpha & \beta\\\gamma & \delta\end{pmatrix}$ est le nombre noté\linebreak$\det(C)=\alpha\delta-\gamma\beta$.

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un nombre réel. Déterminer $P(x)=\det(A-xI_2)$.
\item Déterminer les racines de $P(x)$ ; on les notera $x_1$ et $x_2$, avec $x_1>x_2$.
\item Calculer $X_1=A-x_1I_2$ et $X_2=A-x_2I_2$, puis trouver deux matrices colonnes $C_1$ et $C_2$ telles que $X_1C_1=0$ et $X_2C_2=0$.
\item On décide alors de former la matrice $P$ à l'aide des deux matrices colonnes $C_1$ et $C_2$ (la première colonne de $P$ étant la matrice colonne $C_1$ et la seconde colonne de $P$, $C_2$), puis de former la matrice diagonale $D$ à l'aide de $x_1$ et $x_2$ trouvés précédemment.

Vérifier que $PDP^{-1}=A$.

\item Montrer par récurrence que $D^n=\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ pour tout entier $n\geqslant1$.

\item En déduire une expression de $A^n$, pour $n\geqslant1$.
\end{enumerate}