\begin{enumerate}
\item $P(x)=\det(A-xI_2)=(x-1)^2$. En effet, $A-xI_2=\begin{pmatrix}-1-x & -1\\4 & 3-x\end{pmatrix}$ donc $P(x)=(-1-x)(3-x)-4(-1)=x^2-2x+1=(x-1)^2$.

Ainsi, $P$ admet une racine double : $x=1$.

\item $A-I_2=\begin{pmatrix}-2&-1\\4&2\end{pmatrix}$ donc $(A-I_2)X=\begin{pmatrix}-2&-1\\4&2\end{pmatrix}\dbinom{-1}{2}=\dbinom{2-2}{-4+4}=\dbinom{0}{0}$.

\item On a :
\begin{align*}
PTP^{-1} & = \begin{pmatrix}-1&0\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\2&1\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}1-2a & -a\\4a & 2a+1\end{pmatrix}
\end{align*}
On veut :
\[
\begin{pmatrix}1-2a & -a\\4a & 2a+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1&-1\\4&3\end{pmatrix}
\]
d'où $a=1$.

\item 
\begin{itemize}
\item Initialisation : $T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ; la formule est vraie pour $n=1$.
\item Hérédité : on suppose que pour un $k\geqslant1$ fixé, $T^k=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}$.
\[
T^{k+1}=T^kT=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}.\]

L'hérédité est alors vérifiée. La formule est ainsi vraie pour tout $n\geqslant1$.
\end{itemize}

\item $A^n=\big(PTP^{-1}\big)^n=PT^nP^{-1}=\begin{pmatrix}
-2n+1 & -n\\4n & 2n+1\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}