\exercice[style=R,N=4]{Triangularisation d'une matrice}
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}-1 & -1\\4&3\end{pmatrix}$. On note $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ la matrice identité.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le polynôme $P(x)=\det(A-xI_2)$, puis déterminer ses racines.

\item Calculer $A-I_2$ puis montrer que la matrice colonne $X=\dbinom{-1}{2}$ est telle que $(A-I_2)X=0$.

\item On pose $P=\begin{pmatrix}-1&0\\2&1\end{pmatrix}$ et $T=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$.

Trouver $a$ telle que $PTP^{-1}=A$.

\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $T^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$.

\item En déduire une expression de $A^n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}