\begin{enumerate}
\item $X^2=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d)\\c(a+d) & d^2+bc\end{pmatrix}$

\item On veut que $X^2=I_2$ donc $\begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d)\\ c(a+d) & d^2+bc\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

Ainsi, on a le système : 
$\left\{ 
\begin{array}{l}
a^2+bc=0\\
b(a+d)=0\\
c(a+d)=0\\
d^2+bc=0
\end{array}
\right.$

On déduit de l'équation $b(a+d)=0$ que $b=0$ ou $a+d=0$, puis de l'équation $c(a+d)=0$ que $c=0$ ou $a+d=0$.

\begin{itemize}
\item Si $b=0$, alors $a^2=0$ (donc $a=0$), $d^2=0$ (donc $d=0$) et $c(a+d)=0$ donc $c\times0=0$, ce qui est toujours possible.

Dans ce cas, $\boxed{X=\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}$, $c\in\R$.

\item Si $b\neq0$, alors $a+d=0$ donc $d=-a$. Ainsi, $a^2+bc=0$ et donc $c=-\dfrac{a^2}{b}$.

Dans ce cas, $\boxed{X=\begin{pmatrix}a & b\\-\frac{a^2}{b} & -a\end{pmatrix}}$
\end{itemize}
 
\end{enumerate}