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\exercice[style=R,N=3]{ Puissance d'une matrice $3\times3$}
Soit $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$.
On considère la suite \suite{u}{n}{n\geqslant1} définie par $u_1=1$ et $u_{n+1}=u_n+2^n$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $A^n=\begin{pmatrix}1&0&u_n\\0&1&0\\0&0&2^n\end{pmatrix}$.
\item En considérant la somme des $u_{n+1}-u_n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis $A^n$.
\end{enumerate}