\exercice[style=R,N=3]{Système de suites}
On considère les suites $\suite{a}{n}{}$ et $\suite{b}{n}{}$ définies par $a_0=0,3$, $b_0=0,7$ et :
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
a_{n+1} & = 0,7a_n+0,6b_n\\
b_{n+1} & =0,3a_n+0,4b_n
\end{array}
\right.
\]
Pour tout entier naturel $n$, on définit la matrice colonne $U_n=\dbinom{a_n}{b_n}$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire la matrice $A$ telle que $U_{n+1}=AU_n$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^nU_0$.
\item À l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel de calcul formel, calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$.

Que peut-on conjecturer quant à $\limite{n}{+\infty}{A^n}$, et donc sur la limite des suites $\suite{a}{n}{}$ et $\suite{b}{n}{}$ ?


\end{enumerate}