\exercice[style=R,N=3]{Suites imbriquées}
On considère les suites $\suite{a}{n}{}$ et $\suite{b}{n}{}$ définies par $u_0=0$, $v_0=1$ et :
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
u_{n+1} & = \frac{1}{2}(u_n+v_n)\\[6pt]
v_{n+1} & =\frac{1}{3}(u_n+2v_n)
\end{array}
\right.
\]
Pour tout entier naturel $n$, on définit la matrice colonne $U_n=\dbinom{u_n}{v_n}$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire la matrice $A$ telle que $U_{n+1}=AU_n$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^nU_0$.
\item On définit les matrices $P=\begin{pmatrix}
\frac{4}{5} & \frac{6}{5}\\[6pt]-\frac{6}{5} & \frac{6}{5}\end{pmatrix}$ et $Q=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[6pt]\frac{1}{2} & \frac{1}{3}\end{pmatrix}$.

Montrer que $P$ et $Q$ sont inverses l'une de l'autre.

\item Déterminer la matrice diagonale $D$ telle que $QDP=A$.

\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $U_n=\begin{pmatrix}
\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\times\left(\frac{1}{6}\right)^n\\[6pt]
\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\times\left(\frac{1}{6}\right)^n
\end{pmatrix}$.

\item En déduire la limite des suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{}.
\end{enumerate}