\begin{enumerate}
\item On a : 
\[ 
f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}>0. 
\]
Donc $f$ est strictement croissante sur \intervFF{0}{2}.

On en déduit alors :
\[ 1 \leqslant x \leqslant 2 \Rightarrow f(1)\leqslant f(x) \leqslant f(2)\]
Or, $f(1)=\dfrac{3}{2}>1$ et $f(2)=\dfrac{5}{3}<2$.

Ainsi, 
\[
\boxed{x\in\intervFF{1}{2} \Rightarrow f(x)\in\intervFF{1}{2}}
\]

\newpage

\item Soit $P(n)$ la propriété : $u_n\in\intervFF{1}{2}$. 

Démontrons qu'elle est vraie pour tout entier naturel $n$ par récurrence.
\begin{itemize}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
$u_0=1\in\intervFF{1}{2}$.

\item {\bfseries Hérédité.}\\
Supposons que $P(k)$ soit vraie, où $k$ est un entier naturel. Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi.\\
D'après la question précédente, on a :
\[ u_k\in\intervFF{1}{2} \Rightarrow f\left(u_k\right)\in\intervFF{1}{2}.\]
Or, $f\left(u_k\right)=u_{k+1}$ donc $P(k+1)$ est vraie.\\
L'hérédité est alors vérifiée.

\item {\bfseries Conclusion.}\\
On vient de montrer que $P(0)$ est vraie et que pour un certain entier naturel $k$, $P(k)~\Rightarrow~P(k~+~1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vrai pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\medskip

De plus, $f$ est croissante sur \intervFF{1}{2} donc $f\left(u_n\right)>u_n$, c'est-à-dire : $u_{n+1}>u_n$.

\item De la question précédente, on peut conclure que la suite \suite{u}{n}{} est croissante et bornée, donc\linebreak majorée. Or, \textit{toute suite croissante et majorée converge}. Donc \suite{u}{n}{} est convergente.

\medskip

Posons alors $\ell=\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$. Nous savons que $u_n\in[1;2]$ pour tout entier naturel $n$, donc $\ell\in\intervFF{1}{2}$ On a alors :
\begin{align*}
u_{n+1}=f\left(u_n\right) & \iff \lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1} = \lim\limits_{n\to+\infty} f\left(u_n\right)\\
& \iff \ell = f(\ell)\quad\text{car }f\text{ est continue}\\
&\iff \ell = \frac{2\ell+1}{\ell+1}\\
& \iff \ell^2+\ell=2\ell+1\\
&\iff\ell^2-\ell-1=0.
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $\ell^2-\ell-1$ est $\Delta=5$ donc il possède deux racines :\\$\ell_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0$ et $\ell_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\in\intervFF{1}{2}$. Ainsi, $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
\end{enumerate}
