\exercice[style=A,N=2,verif]{Suite définie par  $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$}

Soit la fonction $f$ définie sur \intervFF{0}{2} par :
\[ f(x)=\frac{2x+1}{x+1}.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $f$ sur \intervFF{0}{2}.\\
Montrer alors l'implication suivante : \[x\in\intervFF{1}{2} \Rightarrow f(x)\in\intervFF{1}{2}.\]
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=f\left(u_n\right)\quad,\qquad\forall n\in\N
\end{array}
\right.
\]
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\in\intervFF{1}{2}$ et que $u_n\leqslant u_{n+1}$.
\item En déduire que la suite \suite{u}{n}{} converge.\\
Calculer alors sa limite.
\end{enumerate}