\begin{enumerate}
\item Posons $\ell=\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$. On en déduit alors :
\begin{align*}
u_{n+1}=\frac{u_n+6}{u_n+2} & \Rightarrow \ell = \frac{\ell+6}{\ell+2}\\
& \Rightarrow \ell(\ell+2)=\ell+6\\
& \Rightarrow \ell^2+2\ell-\ell-6=0\\
& \Rightarrow \ell^2+\ell-6=0.
\end{align*}
Ainsi, $\ell$ est bien une racine du polyn\^ome $P$.

\item $x_1=2$ est une racine évidente de $P$ ; de plus, $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-6$, donc $x_2=-3$.
Les deux racines de $P$ donc sont $\alpha=2$ et $\beta=-3$.

\item On a $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+3}$. Alors :
\begin{align*}
v_{n+1} & = \frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+3}\\
& = \frac{\tfrac{u_n+6}{u_n+2}-2}{\tfrac{u_n+6}{u_n+2}+3}\\
& = \frac{u_n+6-2u_n-4}{u_n+2}\times\frac{u_n+2}{u_n+6+3u_n+6}\\
& = \frac{-u_n+2}{4u_n+12}\\
& = -\frac{1}{4}\times\frac{u_n-2}{u_n+3}\\
& = -\frac{1}{4}v_n\;.
\end{align*}
Ainsi, la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-2}{u_0+3}=-\frac{1}{4}$ et de raison $q=-\dfrac{1}{4}$.

\item La suite $\left(v_n\right)$ converge vers \og 0 \fg{} comme suite géométrique de raison strictement comprise entre $-1$ et $1$. Ainsi :
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \frac{u_n-2}{u_n+3}=0 & \Rightarrow \lim_{n\to+\infty} \left(u_n-2\right)=0\\
& \Rightarrow \boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=2}
\end{align*}
\end{enumerate}