\exercice[style=R,N=3,verif]{Suite définie par   $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=\frac{x+6}{x+2}$}

Soit la suite \suite{u}{n}{} définie par : $\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{u_n+2}\quad,\qquad\forall n\in\N
\end{array}
\right.$
\begin{enumerate}
\item Montrer que si \suite{u}{n}{} converge vers un nombre $\ell$, alors $\ell$ est racine du polynôme :
\[ P(x)=x^2+x-6. \]
\item Déterminer les racines de $P$. On les notera $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha > \beta$.
\end{enumerate}
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$.
\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que la suite \suite{v}{n}{} est géométrique. On précisera alors son premier terme et sa raison.
\item En déduire la limite de la suite \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}